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任意角的三角函数教学案例
一、我的教学设计
教学引入：
前面我们学习了任意角，既然能把锐角推广到任意角，那锐角三角函数能否推广到任意角的三角函数呢？（设计意图：回顾旧知引入新知，以问题的形式来引入。简单的一句话，能激发学生的好奇心和求知欲，也点明了本节课的主题。）
教学过程设计：
问题1 本节我们研究三角函数问题。说起三角函数并不陌生，在初中我们已学过锐角三角函数，请同学们回顾一下，锐角三角函数是怎样规定的？（设计意图: ：回顾已学习的知识，为新知识做好铺垫。）
学生活动：1、指出锐角三角函数是在直角三角形中规定的。
2、说出三个锐角三角函数的定义。
问题2 我们把锐角放到直角坐标系中，你能用终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点。）
学生活动1：1、过点P做x轴的垂线。2、用P点的坐标表示的三条边。3、用P点的坐标表示三个锐角三角函数。
问题3 上述比值与点P在终边上的位置有关吗？
学生活动2：利用三角形全等，可发现上述比值与点P在终边上的位置有无关。
问题4 如何将上述定义的形式化简？写出最简单的形式。（设计意图：用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。）
学生活动3：1、当时，上述定义表示最简单。2、最简单的形式为
问题5 怎样确定点P的位置使它与原点的距离为1？（设计意图：为任意角的定义做好最后的铺垫。）
学生活动4：作一个单位圆，使角的终边与单位圆的交点为P即可。
问题6：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x轴、y轴上时的三角函数。（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。那么不明白任意角该如何取。所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。这样将问题具体化，学生容易着手解决。写出定义的过程也是巩固推广的过程。）
学生活动：如图4，针对其中的图（1）（2）（3）学生写出，针对其中的图（4）学生写出，针对其中的图（5）学生写出，无意义。
问题7 下面给点时间记忆这个定义，并思考如果给一个角或角终边上一点，如何根据此定义求出三个三角函数？（设计意图：当堂消化，并理清解题思路。）
学生活动：1、作单位圆和角的终边，使他们交于点P。2、求出点P的坐标，为。3、根据定义利用P的坐标写出三个三角函数：。
学生动手做：
1、（P15练习3）完成下列表格中的前两列：
2 、求的正弦、余弦和正切值。
3 、角的终边上有点，求。（设计意图：学会这个定义，题的难度逐步加深，为把定义做推广做好准备。）
二、不足之处
1、引入概念的6个问题一环扣一环，本意是引导学生学会思考、学会推理、拓展思维、培养他们的能力，但我花时间多且没起到该有的作用。基本上是我自问自答，有反应的学生少。
2、没有讲例题就叫学生做题。我讲完概念并总结了利用概念求任意三角函数的方法后，没有讲例题，就直接叫学生做课后练习3。学生毫无方法。然后我就利用定义讲解了练习3，然后叫学生做2题和3题，绝大部分学生仍不会做。
3、整堂课下来，问题1至问题6大部分学生都不会，有反应的少，也不会利用定义求任意角的三角函数。我感觉非常的吃力，内心觉得十分失败，脸上的表情显露出了不满和无奈，这是一大禁忌，学生再不会，我们也要有耐心的慢慢讲解，想办法让他们会。
三、教学反思与整改
我课后认真思考这整堂课，结合同行们提的意见，反思及整改如下：
1、提出问题1后，有反应的学生很少，我直接在少数学生的回答下，一带而过。学生的表现显示他们很多人已经将锐角三角函数忘记甚至是不会，我就应该停留，多讲一些，为后面做个好的铺垫。
2、提出问题2后，我让学生讨论。提出后，发现学生没动静，我就马上提问一个学生，引导他解决了问题2。学生没有马上开始讨论，我不该提问一个学生就草草收场，而应该继续引导他们讨论并发现新知。在我的引导下，肯定会有学生参与进来。我这个鲁莽的举动，产生了严重的后果，一是大多数学生可能都还没明白，我就完成了问题2；二是导致了课堂气氛沉闷，无法活跃起来；三是可能会导致学生以后在我的课上越来越不敢开口说话，越来越对数学失去兴趣。
3、提出问题3、4、5后，回答问题的学生寥寥数人，课堂气氛不热烈，我就自己做了主体，自问自答，采用了灌输式的上课模式。应该引导他们自己发现并解决问题，让学生真正成为课堂的主人。
4、在提出问题6前，我叫学生总结锐角三角函数在坐标系中的定义，一提出后比较冷场，我又自己总结了。接着就没按预计的那样提出问题6，而是直接将锐角三角函数推广到了任意角的三角函数。这6个问题环环相扣，知识是讲清楚了，但是效果极差，从培养学生能力上显得不足。 虽然我们对新课改不能盲目跟风，片面追求课堂气氛，但让学生积极主动的参与进课堂教学是正确的，也是他们认真思考并主动学习的表现。
5、针对问题7，我带领学生认真归纳了解题三步骤：首先、作单位圆和角的终边，使他们交于点P。其次、求出点P点的坐标，为。最后、根据定义利用P的坐标写出三个三角函数：。当时自我感觉特别的好，就算前面定义的推导学生们糊里糊涂，但是这个定义和定义如何运用是讲清楚了的，我相信我的学生会利用定义做题。但是后面接着的练习让人崩溃。我叫学生做练习1，他们不仅不会，连画单位圆和找角的终边都没想到。我应该先讲一道例题，再叫他们做。要符合学生实际情况进行教学，不能想当然的以为他们会。我们的学生基础差平时做题少，很基础的题我都要反复讲解，懂的人才稍微多些，但一上起课来就忽略了这么重要的事实。
四、收获
每次公开课后我都会有这样那样的遗憾，但每一次遗憾也是一笔珍贵的财富；每一次的遗憾也能同样的鼓舞着我去追求那遥不可及的“完美”。 人类精神导师，英国著名政治改革家塞缪尔·斯迈尔斯说：“我们从失败中学到的东西要比成功中学到的东西多得多。”所以，我希望能将这样的过程于朋友们分享，更衷心希望能分享大家的心得和经验。下面是我的2点收获：
1、要时刻谨记学生的实际情况，并据此认真备课、授课。不是为了上课而上课，我们辛苦的备课上课，如果大部分学生都不会，一切都是枉然。一定要就着使大部分学生听得懂，并都要有所收获这个点出发，不能盲目的上。
2、就心里素质层面，我工作的第一年就已经不紧张了。但是这堂公开课学生响应冷，不会做题，我的劳动白费，不满就显示在脸上了。学生是否喜欢你这个教师，是否喜欢你所教的科目，教师自身对学生的亲和力是至关重要的。亲和力能很快的拉近师生之间的距离，有效地促进师生的互动，从而顺利地营造轻松、愉快的课堂氛围。亲和力在一定程度上也是教师智慧的一种综合的体现。我的这种“不满”以后一定要杜绝。我对学生有发自内心的挚爱和适宜的表达方法，也有对工作十二万分的热情，但亲和力还来自于教师的个性特点，以后要学会自我调节和提升，让性格变得更温和更让人接近才行。
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